遠い(?)数

「有理数からもっとも遠い無理数は黄金数です」と言われたら、
「『遠い』っていったいどういうこと?」と思うのはとても自然。

つまり、
「有理数(互いに素な自然数でなる分数)で近似し難い」ということです。

「おいおい、『し難い』ってどういうことよ?」と言われてしまいますね。

それは、
「ユークリッドの互除法でふたつの自然数の最大公約数を求めとき、
もっとも割算の回数がたくさん必要な最小の自然数の組み合わせで
つくる有理数を求める」ということです。

以外に小さい自然数の組み合わせなのに、計算が手間取るので
『し難い』というわけです。

結局、
以外に小さい自然数なのに、計算が手間取る組み合わせは
『となり合うフィボナッチ数』になります。

『黄金数』は、
n番目の『となり合うフィボナッチ数』でつくる分数の
nを無限大にしたときに求まります。

整理すると、
「求めるのに手間のかかる有理数」
>
「以外に小さい自然数の同士なのに、ユークリッド互除法で
最大公約数を求めるのに割算がたくさん必要な自然数の組合せ、
つまり、となり合うフィボナッチ数でできる分数」
>
「となり合うフィボナッチ数列で作られる有理数は、
黄金数の近似になっている」
>
「その有理数は手間のかかる有理数なので、
黄金数はその最たるものなので、
もっとも有理数から『遠い』無理数になる」

Question:
ユークリッド互除法で求めなかったら『手間』がかからないかもしれない。
それでは『遠い』ことにならないかもしれない。
『遠い』ことを必要十分に説明しなさい。